Cấp số cộng là một dãy số mà mỗi số hạng (trừ số hạng đầu tiên) bằng số hạng liền trước cộng với một số không đổi gọi là công sai. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tổng hợp đầy đủ các công thức cấp số cộng cơ bản và nâng cao, giúp bạn có cái nhìn toàn diện về chủ đề quan trọng này trong toán học.

Khái niệm cơ bản về cấp số cộng

Trước khi đi vào các công thức cấp số cộng chi tiết, chúng ta cần hiểu rõ khái niệm và đặc điểm của dãy số đặc biệt này.

Định nghĩa cấp số cộng

Một cấp số cộng là một dãy số có dạng:

a, a + d, a + 2d, a + 3d, …, a + (n-1)d, …

Trong đó:

• a: số hạng đầu tiên (hay còn gọi là số hạng thứ nhất)
• d: công sai (hiệu số giữa hai số hạng liên tiếp)
• n: số thứ tự của số hạng trong dãy

Đặc điểm nhận dạng cấp số cộng

Để nhận biết một dãy số có phải là cấp số cộng hay không, bạn cần kiểm tra:

• Hiệu của hai số hạng liên tiếp bất kỳ trong dãy phải bằng nhau
• Nếu an là số hạng thứ n, thì an+1 – an = d (với d là hằng số)

Ví dụ: Dãy số 3, 7, 11, 15, 19,… là một cấp số cộng với số hạng đầu tiên a = 3 và công sai d = 4.

Các công thức cấp số cộng cơ bản

Dưới đây là những công thức cấp số cộng cơ bản mà bạn cần nắm vững.

Công thức số hạng tổng quát

Công thức tính số hạng thứ n của cấp số cộng:

an = a + (n-1)d

Trong đó:

• an: số hạng thứ n
• a: số hạng đầu tiên
• d: công sai
• n: số thứ tự của số hạng cần tìm

Ví dụ: Cho cấp số cộng có a = 5, d = 3. Số hạng thứ 10 sẽ là:

a10 = 5 + (10-1)×3 = 5 + 9×3 = 5 + 27 = 32

Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên

Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng:

Sn = n/2 × (2a + (n-1)d)

Hoặc viết dưới dạng khác:

Sn = n/2 × (a + an)

Trong đó:

• Sn: tổng n số hạng đầu tiên
• a: số hạng đầu tiên
• an: số hạng thứ n
• d: công sai
• n: số lượng số hạng cần tính tổng

Ví dụ: Tính tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng có a = 3, d = 2.

S20 = 20/2 × (2×3 + (20-1)×2) = 10 × (6 + 19×2) = 10 × (6 + 38) = 10 × 44 = 440

Các công thức cấp số cộng nâng cao

Ngoài các công thức cấp số cộng cơ bản, còn có những công thức nâng cao giúp giải quyết các bài toán phức tạp hơn.

Công thức tính tổng các số hạng từ vị trí p đến vị trí q

Nếu bạn cần tính tổng các số hạng từ vị trí p đến vị trí q (với p < q) của một cấp số cộng, bạn có thể sử dụng công thức:

Sp,q = Sq – Sp-1

Hoặc công thức trực tiếp:

Sp,q = (q-p+1)/2 × (ap + aq)

Trong đó:

• Sp,q: tổng các số hạng từ vị trí p đến vị trí q
• Sq: tổng q số hạng đầu tiên
• Sp-1: tổng (p-1) số hạng đầu tiên
• ap: số hạng thứ p
• aq: số hạng thứ q

Ví dụ: Tính tổng các số hạng từ vị trí 5 đến vị trí 10 của cấp số cộng có a = 2, d = 3.

a5 = 2 + (5-1)×3 = 2 + 12 = 14

a10 = 2 + (10-1)×3 = 2 + 27 = 29

S5,10 = (10-5+1)/2 × (14 + 29) = 6/2 × 43 = 3 × 43 = 129

Công thức tính tổng bình phương các số hạng

Công thức tính tổng bình phương n số hạng đầu tiên của cấp số cộng:

Sn2 = n/6 × [3a² + 3a(n-1)d + d²(n-1)(2n-1)]

Trong đó:

• Sn2: tổng bình phương n số hạng đầu tiên
• a: số hạng đầu tiên
• d: công sai
• n: số lượng số hạng

Công thức tính số hạng trung bình cộng

Trong một cấp số cộng có n số hạng, số hạng trung bình cộng (hay trung bình của tất cả các số hạng) được tính bằng:

aTB = Sn/n = (a + an)/2 = a + (n-1)d/2

Đặc biệt, trong cấp số cộng có số lượng số hạng lẻ, số hạng trung bình cộng chính là số hạng ở giữa dãy.

Ứng dụng của công thức cấp số cộng trong thực tế

Các công thức cấp số cộng không chỉ là kiến thức toán học thuần túy mà còn có nhiều ứng dụng thực tiễn trong cuộc sống và công việc.

Ứng dụng trong tài chính và đầu tư

Cấp số cộng được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực tài chính:

• Tính toán các khoản tiết kiệm định kỳ với số tiền cố định
• Lập kế hoạch tăng lương theo định kỳ với mức tăng cố định
• Tính toán khấu hao tài sản theo phương pháp đường thẳng

Ví dụ: Một người bắt đầu tiết kiệm với số tiền 2 triệu đồng/tháng và tăng 500 nghìn đồng mỗi tháng. Sau 12 tháng, tổng số tiền người đó đã tiết kiệm được là:

a = 2 (triệu đồng), d = 0.5 (triệu đồng), n = 12

S12 = 12/2 × (2×2 + (12-1)×0.5) = 6 × (4 + 5.5) = 6 × 9.5 = 57 (triệu đồng)

Ứng dụng trong khoa học và kỹ thuật

Trong khoa học và kỹ thuật, cấp số cộng được áp dụng để:

• Tính toán khoảng cách trong các hệ thống đo lường
• Thiết kế các cấu trúc có khoảng cách đều
• Phân tích dữ liệu trong các thí nghiệm khoa học

Ứng dụng trong lập trình và thuật toán

Trong lĩnh vực công nghệ thông tin, công thức cấp số cộng được sử dụng để:

• Tối ưu hóa thuật toán tìm kiếm
• Phân tích độ phức tạp của thuật toán
• Thiết kế cấu trúc dữ liệu hiệu quả

Ví dụ: Độ phức tạp của thuật toán tìm kiếm tuyến tính (linear search) trong trường hợp xấu nhất là O(n), tuân theo quy luật cấp số cộng.

Các bài toán phổ biến về cấp số cộng

Dưới đây là một số dạng bài toán thường gặp liên quan đến cấp số cộng và cách áp dụng các công thức để giải quyết.

Tìm số hạng đầu tiên và công sai

Khi biết hai số hạng bất kỳ của cấp số cộng, bạn có thể tìm được số hạng đầu tiên (a) và công sai (d).

Ví dụ: Cho biết a3 = 11 và a7 = 23. Tìm a và d.

Áp dụng công thức số hạng tổng quát:

a3 = a + (3-1)d = a + 2d = 11

a7 = a + (7-1)d = a + 6d = 23

Từ hệ phương trình trên, ta có:

(a + 6d) – (a + 2d) = 23 – 11

4d = 12

d = 3

Thay d = 3 vào phương trình a + 2d = 11:

a + 2×3 = 11

a + 6 = 11

a = 5

Vậy số hạng đầu tiên a = 5 và công sai d = 3.

Tìm số hạng thứ n khi biết tổng

Khi biết tổng của một số số hạng trong cấp số cộng, bạn có thể tìm được các số hạng cụ thể.

Ví dụ: Cho cấp số cộng có tổng 5 số hạng đầu tiên là 75 và tổng 10 số hạng đầu tiên là 300. Tìm số hạng thứ 8.

Gọi a là số hạng đầu tiên và d là công sai. Ta có:

S5 = 5/2 × (2a + (5-1)d) = 5/2 × (2a + 4d) = 75

S10 = 10/2 × (2a + (10-1)d) = 5 × (2a + 9d) = 300

Từ phương trình đầu tiên:

5/2 × (2a + 4d) = 75

2a + 4d = 30

a + 2d = 15 (1)

Từ phương trình thứ hai:

5 × (2a + 9d) = 300

2a + 9d = 60

2a + 9d = 60 (2)

Từ (1) và (2), ta có:

2(a + 2d) = 2a + 4d = 30

2a + 9d = 60

Trừ phương trình thứ nhất từ phương trình thứ hai:

(2a + 9d) – (2a + 4d) = 60 – 30

5d = 30

d = 6

Thay d = 6 vào phương trình (1):

a + 2×6 = 15

a + 12 = 15

a = 3

Số hạng thứ 8 là:

a8 = a + (8-1)d = 3 + 7×6 = 3 + 42 = 45

Tìm số hạng giữa của cấp số cộng

Trong một cấp số cộng có số lượng số hạng lẻ, số hạng ở giữa có tính chất đặc biệt.

Ví dụ: Cho cấp số cộng có 7 số hạng, biết rằng tổng của chúng là 63. Tìm số hạng giữa.

Gọi a là số hạng đầu tiên và d là công sai. Ta có:

S7 = 7/2 × (2a + (7-1)d) = 7/2 × (2a + 6d) = 63

2a + 6d = 18

a + 3d = 9

Số hạng giữa (số hạng thứ 4) là:

a4 = a + (4-1)d = a + 3d = 9

Vậy số hạng giữa của cấp số cộng này là 9.

Mẹo và kỹ thuật giải nhanh các bài toán cấp số cộng

Dưới đây là một số mẹo và kỹ thuật giúp bạn giải nhanh các bài toán liên quan đến cấp số cộng.

Sử dụng tính chất của cấp số cộng

Một số tính chất hữu ích của cấp số cộng:

• Tính chất đối xứng: Trong một cấp số cộng có số lượng số hạng lẻ, tổng của hai số hạng đối xứng qua số hạng giữa bằng hai lần số hạng giữa.
• Tính chất cộng: Nếu hai dãy là cấp số cộng cùng công sai, thì dãy tổng của chúng cũng là cấp số cộng với cùng công sai.
• Tính chất nhân: Nếu nhân mỗi số hạng của cấp số cộng với một hằng số k, ta được một cấp số cộng mới với số hạng đầu tiên là k×a và công sai là k×d.

Phương pháp tìm số hạng khi biết tổng

Khi biết tổng của một số số hạng trong cấp số cộng, bạn có thể áp dụng các công thức sau:

• Nếu biết Sn, a và d, bạn có thể tính an bằng cách: an = 2Sn/n – a
• Nếu biết Sn, an và n, bạn có thể tính a bằng cách: a = 2Sn/n – an

Cách xác định nhanh công sai

Để xác định nhanh công sai của một cấp số cộng, bạn có thể:

• Lấy hiệu của hai số hạng liên tiếp bất kỳ
• Nếu biết ap và aq, công sai d = (aq – ap)/(q-p)

Kết luận

Qua bài viết này, chúng ta đã tổng hợp tất cả công thức cấp số cộng từ cơ bản đến nâng cao, cùng với các ứng dụng và phương pháp giải các bài toán liên quan. Những kiến thức này không chỉ giúp bạn giải quyết các bài toán trong học tập mà còn có thể áp dụng vào nhiều lĩnh vực trong cuộc sống thực tế.

Xem thêm: 

Tổng hợp công thức nguyên hàm​ đầy đủ nhất