Trong lượng giác, các công thức hạ bậc đóng vai trò quan trọng giúp chuyển đổi các biểu thức lượng giác bậc cao thành các biểu thức bậc một. Bài viết của maubanhkem.com sẽ tổng hợp đầy đủ các công thức hạ bậc lượng giác cùng với các bài tập minh họa, giúp các bạn học sinh nắm vững và áp dụng hiệu quả vào quá trình học tập.

Công thức hạ bậc sin²x và cos²x

Hai công thức hạ bậc cơ bản và thường xuyên được sử dụng nhất là công thức liên quan đến sin²x và cos²x. Các công thức này giúp biến đổi biểu thức bình phương thành các biểu thức bậc một đơn giản hơn.

Công thức hạ bậc sin²x

Đối với sin²x, chúng ta có công thức:

• sin²x = (1 – cos2x)/2

Công thức này cho phép chuyển đổi sin²x thành một biểu thức chứa cos2x, rất hữu ích khi tính toán các tích phân hoặc giải phương trình lượng giác.

Công thức hạ bậc cos²x

Tương tự, đối với cos²x, chúng ta có:

• cos²x = (1 + cos2x)/2

Công thức này biến đổi cos²x thành một biểu thức chứa cos2x, giúp đơn giản hóa nhiều bài toán phức tạp.

Bài tập áp dụng công thức hạ bậc sin²x và cos²x

Để hiểu rõ hơn về cách áp dụng các công thức hạ bậc sin cos, hãy xem xét bài tập sau:

Bài tập 1: Tính giá trị của biểu thức P = sin²15° + cos²15°

Lời giải:

Sử dụng công thức cơ bản: sin²α + cos²α = 1

Do đó: P = sin²15° + cos²15° = 1

Bài tập 2: Tính giá trị của biểu thức Q = 3sin²π/8 – 2cos²π/8

Lời giải:

Sử dụng công thức hạ bậc:

• sin²π/8 = (1 – cos(π/4))/2 = (1 – 1/√2)/2 = (2 – √2)/4
• cos²π/8 = (1 + cos(π/4))/2 = (1 + 1/√2)/2 = (2 + √2)/4

Thay vào biểu thức Q:

Q = 3sin²π/8 – 2cos²π/8 = 3(2 – √2)/4 – 2(2 + √2)/4 = (6 – 3√2 – 4 – 2√2)/4 = (2 – 5√2)/4

Công thức hạ bậc sin2x và cos2x

Các công thức hạ bậc sin2x và công thức hạ bậc cos2x giúp biểu diễn các hàm lượng giác của góc kép dưới dạng các hàm lượng giác của góc đơn.

Công thức hạ bậc sin2x

Công thức hạ bậc cho sin2x là:

• sin2x = 2sinx·cosx

Công thức này đặc biệt hữu ích khi cần biến đổi sin của góc kép thành các hàm lượng giác của góc đơn.

Công thức hạ bậc cos2x

Đối với cos2x, chúng ta có hai công thức hạ bậc phổ biến:

• cos2x = cos²x – sin²x
• cos2x = 2cos²x – 1
• cos2x = 1 – 2sin²x

Các công thức hạ bậc cos 2x này cho phép chúng ta biểu diễn cos2x theo nhiều cách khác nhau, tùy thuộc vào bài toán cụ thể.

Bài tập áp dụng công thức hạ bậc sin2x và cos2x

Bài tập 3: Tính sin60° bằng cách sử dụng công thức hạ bậc.

Lời giải:

Ta có 60° = 2×30°, nên có thể sử dụng công thức sin2x = 2sinx·cosx

sin60° = sin(2×30°) = 2sin30°·cos30° = 2×(1/2)×(√3/2) = √3/2

Bài tập 4: Chứng minh rằng cos60° = 1/2

Lời giải:

Sử dụng công thức cos2x = 2cos²x – 1 với x = 30°:

cos60° = cos(2×30°) = 2cos²30° – 1 = 2(√3/2)² – 1 = 2(3/4) – 1 = 3/2 – 1 = 1/2

Công thức hạ bậc tổng quát

Ngoài các công thức cơ bản, chúng ta còn có các công thức lượng giác hạ bậc tổng quát cho các lũy thừa cao hơn của các hàm lượng giác.

Công thức hạ bậc sin³x và cos³x

Đối với lũy thừa bậc 3, chúng ta có các công thức hạ bậc 3 sau:

• sin³x = (3sinx – sin3x)/4
• cos³x = (3cosx + cos3x)/4

Các công thức này rất hữu ích khi tính toán các tích phân chứa sin³x hoặc cos³x.

Công thức hạ bậc sin⁴x và cos⁴x

Đối với lũy thừa bậc 4, chúng ta có:

• sin⁴x = (3 – 4cos2x + cos4x)/8
• cos⁴x = (3 + 4cos2x + cos4x)/8

Các công thức này giúp chuyển đổi các lũy thừa bậc cao thành tổ hợp của các hàm cosin của các góc bội.

Bài tập áp dụng công thức hạ bậc tổng quát

Bài tập 5: Tính tích phân I = ∫sin³x dx

Lời giải:

Sử dụng công thức hạ bậc sin³x = (3sinx – sin3x)/4:

I = ∫sin³x dx = ∫(3sinx – sin3x)/4 dx = (3∫sinx dx – ∫sin3x dx)/4

= (3(-cosx) – (-cos3x/3))/4 = (-3cosx + cos3x/3)/4

= -3cosx/4 + cos3x/12 + C

Bài tập 6: Tính giá trị của biểu thức P = cos⁴30° – sin⁴30°

Lời giải:

Sử dụng công thức: cos⁴x – sin⁴x = cos²x – sin²x = cos2x

Do đó: P = cos⁴30° – sin⁴30° = cos(2×30°) = cos60° =a 1/2

Công thức hạ bậc cho tích của các hàm lượng giác

Các công thức hạ bậc cũng áp dụng cho tích của các hàm lượng giác, giúp chuyển đổi chúng thành tổng hoặc hiệu.

Công thức hạ bậc cho tích sinα·sinβ, cosα·cosβ và sinα·cosβ

Chúng ta có các công thức sau:

• sinα·sinβ = (cos(α-β) – cos(α+β))/2
• cosα·cosβ = (cos(α-β) + cos(α+β))/2
• sinα·cosβ = (sin(α+β) + sin(α-β))/2

Các công thức này rất hữu ích khi cần biến đổi tích thành tổng trong các bài toán lượng giác.

Bài tập áp dụng công thức hạ bậc tích

Bài tập 7: Tính sin15°·cos45°

Lời giải:

Sử dụng công thức sinα·cosβ = (sin(α+β) + sin(α-β))/2:

sin15°·cos45° = (sin(15°+45°) + sin(15°-45°))/2

= (sin60° + sin(-30°))/2

= (√3/2 – 1/2)/2

= (√3 – 1)/4

Bài tập 8: Biến đổi biểu thức P = sin2x·sin3x thành tổng (hoặc hiệu) của các hàm cosin.

Lời giải:

Sử dụng công thức sinα·sinβ = (cos(α-β) – cos(α+β))/2:

P = sin2x·sin3x = (cos(2x-3x) – cos(2x+3x))/2

= (cos(-x) – cos5x)/2

= (cosx – cos5x)/2

Ứng dụng của công thức hạ bậc trong giải phương trình lượng giác

Các công thức hạ bậc lượng giác đóng vai trò quan trọng trong việc giải các phương trình lượng giác phức tạp.

Phương trình chứa biểu thức bậc hai

Khi gặp phương trình chứa các biểu thức như sin²x, cos²x, chúng ta có thể sử dụng công thức hạ bậc để đơn giản hóa và giải quyết.

Bài tập áp dụng trong giải phương trình

Bài tập 9: Giải phương trình 2sin²x – sinx – 1 = 0

Lời giải:

Đặt t = sinx, ta có phương trình: 2t² – t – 1 = 0

Giải phương trình bậc hai: 2t² – t – 1 = 0

Δ = 1 + 8 = 9

t₁ = (1 + 3)/4 = 1

t₂ = (1 – 3)/4 = -1/2

Vậy sinx = 1 hoặc sinx = -1/2

Từ đó tìm được x = π/2 + 2kπ hoặc x = -π/6 + 2kπ hoặc x = 7π/6 + 2kπ với k ∈ Z

Bài tập 10: Giải phương trình 2cos²x – 3cosx + 1 = 0 trong khoảng [0, 2π]

Lời giải:

Đặt t = cosx, ta có phương trình: 2t² – 3t + 1 = 0

Giải phương trình bậc hai: 2t² – 3t + 1 = 0

Δ = 9 – 8 = 1

t₁ = (3 + 1)/4 = 1

t₂ = (3 – 1)/4 = 1/2

Vậy cosx = 1 hoặc cosx = 1/2

Từ đó tìm được x = 0 hoặc x = 2π hoặc x = π/3 hoặc x = 5π/3

Tổng hợp các công thức hạ bậc quan trọng khác

Ngoài các công thức hạ bậc đã đề cập, còn có một số công thức quan trọng khác mà học sinh cần nắm vững.

Công thức hạ bậc cho tang²x và cotg²x

Đối với tang²x và cotg²x, chúng ta có:

• tang²x = (1 – cos2x)/(1 + cos2x)
• cotg²x = (1 + cos2x)/(1 – cos2x)

Công thức hạ bậc cho các biểu thức phức tạp

Đối với các biểu thức phức tạp hơn, chúng ta có thể kết hợp các công thức lượng giác hạ bậc cơ bản để đạt được kết quả mong muốn.

Bài tập tổng hợp

Bài tập 11: Tính giá trị của biểu thức P = sin⁶x + cos⁶x khi biết sin²x + cos²x = 1

Lời giải:

Ta có: sin⁶x + cos⁶x = (sin²x)³ + (cos²x)³

Đặt a = sin²x và b = cos²x, ta có a + b = 1 (theo giả thiết)

Khi đó: P = a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab(a + b) = 1³ – 3ab

= 1 – 3sin²x·cos²x = 1 – 3(sin²x)(1 – sin²x)

= 1 – 3sin²x + 3sin⁴x = 1 – 3(1-cos²x)/2 + 3((1-cos2x)/2)²

= 1 – 3/2 + 3cos²x/2 + 3/4 – 3cos2x/4 + 3cos²2x/16

= 1/4 + 3cos²x/2 – 3cos2x/4 + 3(1+cos4x)/8

= 1/4 + 3cos²x/2 – 3cos2x/4 + 3/8 + 3cos4x/8

= 5/8 + 3cos²x/2 – 3cos2x/4 + 3cos4x/8

Bài tập 12: Tính tích phân I = ∫sin²x·cos²x dx

Lời giải:

Sử dụng công thức sin²x = (1 – cos2x)/2 và cos²x = (1 + cos2x)/2:

I = ∫sin²x·cos²x dx = ∫[(1 – cos2x)/2]·[(1 + cos2x)/2] dx

= (1/4)∫[(1 – cos2x)(1 + cos2x)] dx

= (1/4)∫[1 – cos²2x] dx

= (1/4)∫[1 – (1 + cos4x)/2] dx

= (1/4)∫[1/2 – cos4x/2] dx

= (1/8)∫dx – (1/8)∫cos4x dx

= x/8 – sin4x/32 + C

Lời khuyên khi sử dụng công thức hạ bậc

Để áp dụng hiệu quả các công thức hạ bậc trong bài toán lượng giác, học sinh nên lưu ý một số điểm sau:

• Nắm vững các công thức cơ bản: Đảm bảo hiểu rõ và ghi nhớ các công thức hạ bậc cơ bản như sin²x, cos²x, sin2x, cos2x.
• Linh hoạt trong áp dụng: Tùy thuộc vào dạng bài toán, có thể chọn công thức phù hợp để áp dụng.
• Kết hợp với các công thức lượng giác khác: Trong nhiều trường hợp, cần kết hợp công thức hạ bậc với các công thức lượng giác khác để giải quyết bài toán.
• Thực hành nhiều bài tập: Thông qua việc giải nhiều bài tập đa dạng, học sinh sẽ nắm vững cách áp dụng các công thức hạ bậc.

Xem thêm

Tổng hợp công thức tính diện tích hình tròn đầy đủ nhất

Tổng hợp công thức logarit đầy đủ nhất

Các công thức hạ bậc lượng giác là công cụ mạnh mẽ giúp đơn giản hóa nhiều bài toán phức tạp trong lượng giác. Việc nắm vững và áp dụng linh hoạt các công thức này sẽ giúp học sinh giải quyết hiệu quả các bài toán lượng giác trong chương trình học.