Logarit là một trong những kiến thức toán học quan trọng mà học sinh cần nắm vững. Bài viết này tổng hợp đầy đủ các công thức logarit từ cơ bản đến nâng cao, kèm theo các ví dụ minh họa giúp các em dễ dàng áp dụng vào bài tập. Từ định nghĩa, tính chất đến các công thức đạo hàm logarit, tất cả đều được trình bày một cách hệ thống và dễ hiểu.

Định nghĩa và công thức logarit cơ bản

Trước khi đi vào các công thức logarit phức tạp, chúng ta cần hiểu rõ định nghĩa và các công thức logarit cơ bản.

Định nghĩa logarit

Logarit cơ số a của một số dương x, ký hiệu là log_ax, là số mũ y mà khi a được lũy thừa với y sẽ bằng x.

Nói cách khác: log_ax = y ⟺ a^y = x, với a > 0, a ≠ 1 và x > 0

Đây là công thức logarit nền tảng mà tất cả các công thức khác đều được xây dựng dựa trên nó.

Các công thức logarit cơ bản

• log_a1 = 0 (vì a⁰ = 1)
• log_aa = 1 (vì a¹ = a)
• log_a(aⁿ) = n (áp dụng trực tiếp từ định nghĩa)
• a^log_ax = x (với x > 0)

Ví dụ: Tính log₃9

Giải: log₃9 = log₃(3²) = 2

Các tính chất của logarit

Để giải quyết các bài toán phức tạp, việc nắm vững các công thức logarit dựa trên tính chất là vô cùng quan trọng.

Tính chất cơ bản về tích, thương, lũy thừa

1. Logarit của tích: log_a(x×y) = log_ax + log_ay (với x, y > 0)
2. Logarit của thương: log_a(x/y) = log_ax – log_ay (với x, y > 0)
3. Logarit của lũy thừa: log_a(xⁿ) = n×log_ax (với x > 0)

Ví dụ: Tính log₂8 + log₂4 – log₂16

Giải:

• log₂8 = log₂(2³) = 3
• log₂4 = log₂(2²) = 2
• log₂16 = log₂(2⁴) = 4

Vậy: log₂8 + log₂4 – log₂16 = 3 + 2 – 4 = 1

Cách khác: log₂8 + log₂4 – log₂16 = log₂(8×4/16) = log₂(32/16) = log₂2 = 1

Công thức đổi cơ số logarit

Đổi cơ số là một trong những công thức logarit quan trọng, giúp chuyển đổi giữa các logarit khác nhau:

log_ax = log_bx / log_ba (với a, b > 0, a, b ≠ 1, x > 0)

Trường hợp đặc biệt: log_ax = ln(x) / ln(a) (với ln là logarit tự nhiên)

Ví dụ: Tính log₅12 bằng cách đổi về logarit tự nhiên

Giải: log₅12 = ln(12) / ln(5) ≈ 2,4849 / 1,6094 ≈ 1,544

Công thức logarit mở rộng

Ngoài các công thức logarit cơ bản, còn có nhiều công thức mở rộng giúp giải quyết các bài toán phức tạp hơn.

Công thức logarit của căn thức

log_a(√ⁿx) = log_a(x^1/n) = (1/n)×log_ax

Ví dụ: Tính log₃√27

Giải: log₃√27 = log₃(27^1/2) = (1/2)×log₃27 = (1/2)×log₃(3³) = (1/2)×3 = 1,5

Công thức logarit của biểu thức phức tạp

Khi gặp các biểu thức phức tạp, chúng ta có thể kết hợp các công thức logarit đã biết:

log_a(x^m×yⁿ/z^p) = m×log_ax + n×log_ay – p×log_az

Ví dụ: Tính log₂(8³×4²/16)

Giải:

• log₂(8³×4²/16) = 3×log₂8 + 2×log₂4 – log₂16
• = 3×3 + 2×2 – 4
• = 9 + 4 – 4
• = 9

Công thức đạo hàm logarit

Các công thức đạo hàm logarit rất quan trọng trong giải tích và ứng dụng toán học.

Đạo hàm của hàm logarit cơ bản

• d/dx[ln(x)] = 1/x (với x > 0)
• d/dx[log_a(x)] = 1/(x×ln(a)) (với x > 0, a > 0, a ≠ 1)

Ví dụ: Tìm đạo hàm của hàm số f(x) = log₃(x)

Giải: f'(x) = 1/(x×ln(3))

Đạo hàm của hàm số phức tạp chứa logarit

Khi gặp các hàm phức tạp, chúng ta áp dụng quy tắc chuỗi (chain rule) kết hợp với công thức đạo hàm logarit:

d/dx[ln(g(x))] = g'(x)/g(x)

d/dx[log_a(g(x))] = g'(x)/(g(x)×ln(a))

Ví dụ: Tìm đạo hàm của hàm số f(x) = ln(x² + 1)

Giải:

• f'(x) = (2x)/(x² + 1)

Ứng dụng công thức logarit trong giải phương trình và bất phương trình

Các công thức logarit được ứng dụng rộng rãi trong việc giải phương trình và bất phương trình.

Giải phương trình logarit

Khi giải phương trình logarit, cần nhớ rằng: log_ax = log_ay ⟺ x = y (với x, y > 0)

Ví dụ: Giải phương trình log₂(x + 3) – log₂(x – 1) = 2

Giải:

• log₂((x + 3)/(x – 1)) = 2
• (x + 3)/(x – 1) = 2² = 4
• x + 3 = 4(x – 1)
• x + 3 = 4x – 4
• 3x = 7
• x = 7/3

Kiểm tra: x – 1 = 7/3 – 1 = 4/3 > 0, thỏa mãn điều kiện.

Vậy nghiệm của phương trình là x = 7/3.

Giải bất phương trình logarit

Khi giải bất phương trình logarit, cần lưu ý tính đơn điệu của hàm logarit:

• Nếu a > 1: hàm log_ax đồng biến
• Nếu 0 < a < 1: hàm log_ax nghịch biến

Ví dụ: Giải bất phương trình log₃(2x – 1) > 2

Giải:

• Điều kiện: 2x – 1 > 0 ⟺ x > 1/2
• log₃(2x – 1) > 2
• 2x – 1 > 3² = 9 (vì log₃ đồng biến)
• 2x > 10
• x > 5

Kết hợp với điều kiện x > 1/2, ta có tập nghiệm là x > 5.

Công thức logarit trong các phép biến đổi

Biến đổi biểu thức chứa logarit là kỹ năng quan trọng trong giải toán.

Rút gọn biểu thức logarit

Áp dụng các công thức logarit để rút gọn biểu thức phức tạp:

Ví dụ: Rút gọn biểu thức P = 2log₃x + 3log₃y – log₃(x²y)

Giải:

• P = 2log₃x + 3log₃y – log₃(x²y)
• = 2log₃x + 3log₃y – (log₃(x²) + log₃y)
• = 2log₃x + 3log₃y – (2log₃x + log₃y)
• = 2log₃x – 2log₃x + 3log₃y – log₃y
• = 2log₃y
• = log₃(y²)

Chứng minh đẳng thức logarit

Sử dụng công thức logarit đầy đủ để chứng minh các đẳng thức:

Ví dụ: Chứng minh rằng log_ab × log_bc × log_ca = 1

Giải:

• log_ab = ln(b)/ln(a)
• log_bc = ln(c)/ln(b)
• log_ca = ln(a)/ln(c)

Nhân vế với vế:

• log_ab × log_bc × log_ca = [ln(b)/ln(a)] × [ln(c)/ln(b)] × [ln(a)/ln(c)]
• = [ln(b)×ln(c)×ln(a)] / [ln(a)×ln(b)×ln(c)]
• = 1

Ứng dụng của logarit trong thực tế

Ngoài giá trị học thuật, công thức logarit còn có nhiều ứng dụng thực tế quan trọng.

Ứng dụng trong tính toán lãi kép

Công thức tính thời gian để một khoản tiền tăng gấp đôi với lãi suất r%:

T = log(2) / log(1 + r/100)

Ví dụ: Tính thời gian để số tiền gửi ngân hàng tăng gấp đôi với lãi suất 5% một năm?

Giải:

• T = log(2) / log(1 + 5/100) = log(2) / log(1.05)
• = 0.301 / 0.0212 ≈ 14.2 năm

Ứng dụng trong đo lường

Thang đo decibel (dB) trong âm học sử dụng logarit:

Cường độ âm (dB) = 10 × log₁₀(I/I₀)

Thang đo Richter đo cường độ động đất:

M = log₁₀(A) + các yếu tố hiệu chỉnh

Ví dụ: Một động đất có biên độ sóng lớn hơn 1000 lần so với một động đất nhỏ. Chênh lệch độ lớn trên thang Richter là bao nhiêu?

Giải:

• Chênh lệch = log₁₀(1000) = log₁₀(10³) = 3

Vậy chênh lệch là 3 độ Richter.

Tổng kết các công thức logarit quan trọng

Để giúp học sinh ôn tập hiệu quả, dưới đây là tổng hợp công thức logarit đầy đủ nhất:

Bảng tổng hợp công thức logarit

1. Định nghĩa: log_ax = y ⟺ a^y = x (a > 0, a ≠ 1, x > 0)
2. Công thức cơ bản:
   • log_a1 = 0
   • log_aa = 1
   • log_a(aⁿ) = n
   • a^log_ax = x
3. Tính chất cơ bản:
   • log_a(x×y) = log_ax + log_ay
   • log_a(x/y) = log_ax – log_ay
   • log_a(xⁿ) = n×log_ax
4. Đổi cơ số: log_ax = log_bx / log_ba
5. Đạo hàm:
   • d/dx[ln(x)] = 1/x
   • d/dx[log_a(x)] = 1/(x×ln(a))

Lời khuyên khi áp dụng công thức logarit

Khi giải các bài toán liên quan đến logarit, học sinh cần lưu ý:

• Kiểm tra điều kiện xác định: Luôn nhớ rằng logarit chỉ xác định khi đối số dương.
• Ưu tiên đổi về cùng cơ số: Khi xử lý biểu thức có nhiều logarit khác cơ số, hãy đổi về cùng một cơ số.
• Tận dụng tính chất: Áp dụng các tính chất logarit để đơn giản hóa biểu thức trước khi giải.
• Kiểm tra nghiệm: Sau khi giải phương trình logarit, luôn kiểm tra nghiệm có thỏa mãn điều kiện xác định hay không.

Xem thêm

Tổng hợp công thức cấp số nhân đầy đủ nhất

Tổng hợp tất cả công thức cấp số cộng chi tiết nhất

Với tổng hợp công thức logarit đầy đủ và các ví dụ minh họa trên đây, hy vọng các em học sinh sẽ nắm vững kiến thức và tự tin ứng dụng vào các bài toán thực tế. Logarit tuy có vẻ phức tạp ban đầu nhưng khi hiểu rõ bản chất và thực hành nhiều, các em sẽ thấy đây là công cụ toán học mạnh mẽ và hữu ích.