Lượng giác là một phần quan trọng trong chương trình Toán học lớp 11, giúp học sinh hiểu được mối quan hệ giữa các cạnh và góc trong tam giác. Bài viết này sẽ tổng hợp đầy đủ các công thức lượng giác 11 cùng với các ví dụ áp dụng cụ thể, giúp các em học sinh nắm vững và vận dụng hiệu quả trong quá trình học tập và ôn thi.

1. Các hệ thức lượng giác cơ bản

Trước khi đi vào các công thức phức tạp, chúng ta cần ôn lại những hệ thức lượng giác cơ bản làm nền tảng cho các công thức nâng cao sau này.

1.1. Định nghĩa các tỉ số lượng giác

• Sin: sin α = đối/huyền
• Cosin: cos α = kề/huyền
• Tang: tan α = đối/kề = sin α/cos α
• Cotang: cot α = kề/đối = cos α/sin α = 1/tan α
• Secant: sec α = huyền/kề = 1/cos α
• Cosecant: cosec α = huyền/đối = 1/sin α

1.2. Các hệ thức cơ bản

• Hệ thức Pytago lượng giác: sin²α + cos²α = 1
• Hệ quả:
  • 1 + tan²α = 1/cos²α = sec²α
  • 1 + cot²α = 1/sin²α = cosec²α

Các công thức lượng giác lớp 11 trên là nền tảng để học sinh tiếp cận với các công thức phức tạp hơn. Việc hiểu rõ và nhớ chính xác những công thức này sẽ giúp các em giải quyết dễ dàng các bài toán liên quan.

2. Công thức lượng giác của tổng và hiệu

Đây là nhóm công thức lượng giác 11 quan trọng giúp tính các giá trị lượng giác của tổng hoặc hiệu hai góc khi biết giá trị lượng giác của từng góc.

2.1. Công thức sin của tổng và hiệu

• Sin của tổng: sin(α + β) = sin α × cos β + cos α × sin β
• Sin của hiệu: sin(α – β) = sin α × cos β – cos α × sin β

2.2. Công thức cos của tổng và hiệu

• Cos của tổng: cos(α + β) = cos α × cos β – sin α × sin β
• Cos của hiệu: cos(α – β) = cos α × cos β + sin α × sin β

2.3. Công thức tan của tổng và hiệu

• Tan của tổng: tan(α + β) = (tan α + tan β)/(1 – tan α × tan β)
• Tan của hiệu: tan(α – β) = (tan α – tan β)/(1 + tan α × tan β)

Ví dụ áp dụng: Tính sin(75°) khi biết sin(45°) = 1/√2 và cos(45°) = 1/√2, sin(30°) = 1/2 và cos(30°) = √3/2.

Áp dụng công thức sin(α + β): sin(75°) = sin(45° + 30°) = sin(45°) × cos(30°) + cos(45°) × sin(30°) = (1/√2) × (√3/2) + (1/√2) × (1/2) = (√3 + 1)/(2√2) = (√3 + 1)/(2√2) × (√2/√2) = (√3 + 1)/(2√2) × (√2/√2) = (√3 + 1)/2√2 × √2/√2 = (√3 + 1)√2/4

3. Công thức lượng giác của góc nhân đôi

Các công thức lượng giác 11 về góc nhân đôi rất hữu ích khi cần tính giá trị lượng giác của một góc gấp đôi góc đã biết.

3.1. Công thức sin góc nhân đôi

• Sin góc nhân đôi: sin 2α = 2 sin α × cos α

3.2. Công thức cos góc nhân đôi

• Cos góc nhân đôi: cos 2α = cos²α – sin²α = 2cos²α – 1 = 1 – 2sin²α

3.3. Công thức tan góc nhân đôi

• Tan góc nhân đôi: tan 2α = 2tan α/(1 – tan²α)

Ví dụ áp dụng: Tính cos(60°) khi biết cos(30°) = √3/2 và sin(30°) = 1/2.

Áp dụng công thức cos 2α = cos²α – sin²α: cos(60°) = cos(2 × 30°) = cos²(30°) – sin²(30°) = (√3/2)² – (1/2)² = 3/4 – 1/4 = 1/2

4. Công thức lượng giác của góc nửa đôi

Đây là nhóm công thức lượng giác lớp 11 giúp tính giá trị lượng giác của một góc bằng một nửa góc đã biết.

4.1. Công thức sin góc nửa đôi

• Sin góc nửa đôi: sin(α/2) = ±√[(1 – cos α)/2]

4.2. Công thức cos góc nửa đôi

• Cos góc nửa đôi: cos(α/2) = ±√[(1 + cos α)/2]

4.3. Công thức tan góc nửa đôi

• Tan góc nửa đôi: tan(α/2) = (1 – cos α)/sin α = sin α/(1 + cos α)

Ví dụ áp dụng: Tính sin(15°) khi biết cos(30°) = √3/2.

Áp dụng công thức sin(α/2) = ±√[(1 – cos α)/2]: sin(15°) = sin(30°/2) = √[(1 – cos 30°)/2] = √[(1 – √3/2)/2] = √[(2 – √3)/4] = √(2 – √3)/2

5. Công thức biến đổi tích thành tổng

Nhóm công thức lượng giác 11 này giúp chuyển đổi tích của các hàm lượng giác thành tổng, rất hữu ích trong việc tính tích phân và giải các phương trình lượng giác phức tạp.

5.1. Tích sin và cos

• Sin nhân sin: sin α × sin β = [cos(α – β) – cos(α + β)]/2
• Cos nhân cos: cos α × cos β = [cos(α – β) + cos(α + β)]/2
• Sin nhân cos: sin α × cos β = [sin(α + β) + sin(α – β)]/2

Ví dụ áp dụng: Tính sin(30°) × cos(60°).

Áp dụng công thức sin α × cos β = [sin(α + β) + sin(α – β)]/2: sin(30°) × cos(60°) = [sin(30° + 60°) + sin(30° – 60°)]/2 = [sin(90°) + sin(-30°)]/2 = [1 + (-1/2)]/2 = 1/4

6. Công thức biến đổi tổng thành tích

Các công thức lượng giác lớp 11 này giúp biến đổi tổng hoặc hiệu của các hàm lượng giác thành tích, rất hữu ích trong việc tính giới hạn và giải các phương trình lượng giác.

6.1. Tổng và hiệu của sin

• Tổng sin: sin α + sin β = 2 sin[(α + β)/2] × cos[(α – β)/2]
• Hiệu sin: sin α – sin β = 2 sin[(α – β)/2] × cos[(α + β)/2]

6.2. Tổng và hiệu của cos

• Tổng cos: cos α + cos β = 2 cos[(α + β)/2] × cos[(α – β)/2]
• Hiệu cos: cos α – cos β = -2 sin[(α + β)/2] × sin[(α – β)/2]

Ví dụ áp dụng: Tính sin(60°) + sin(30°).

Áp dụng công thức sin α + sin β = 2 sin[(α + β)/2] × cos[(α – β)/2]: sin(60°) + sin(30°) = 2 sin[(60° + 30°)/2] × cos[(60° – 30°)/2] = 2 sin(45°) × cos(15°) = 2 × (1/√2) × cos(15°)

7. Công thức lượng giác của ba góc

Đây là các công thức lượng giác 11 liên quan đến tổng của ba góc, thường được sử dụng trong các bài toán phức tạp.

7.1. Công thức sin và cos của tổng ba góc

• Sin của tổng ba góc: sin(α + β + γ) = sin α × cos β × cos γ + cos α × sin β × cos γ + cos α × cos β × sin γ – sin α × sin β × sin γ
• Cos của tổng ba góc: cos(α + β + γ) = cos α × cos β × cos γ – cos α × sin β × sin γ – sin α × cos β × sin γ – sin α × sin β × cos γ

Ví dụ áp dụng: Tính sin(105°) khi biết sin(45°) = cos(45°) = 1/√2 và sin(60°) = √3/2, cos(60°) = 1/2.

Ta có sin(105°) = sin(45° + 60°) = sin(45°) × cos(60°) + cos(45°) × sin(60°) = (1/√2) × (1/2) + (1/√2) × (√3/2) = (1 + √3)/(2√2)

8. Công thức lượng giác trong tam giác

Các công thức lượng giác lớp 11 này áp dụng cho tam giác và là công cụ quan trọng trong việc giải các bài toán hình học.

8.1. Định lý sin

Trong tam giác ABC có các cạnh a, b, c đối diện với các góc A, B, C tương ứng, ta có:

• Định lý sin: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R (với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác)

8.2. Định lý cos

• Định lý cos:
  • a² = b² + c² – 2bc × cos A
  • b² = a² + c² – 2ac × cos B
  • c² = a² + b² – 2ab × cos C

8.3. Công thức tính diện tích tam giác

• Diện tích tam giác:
  • S = (1/2) × a × b × sin C
  • S = (1/2) × b × c × sin A
  • S = (1/2) × a × c × sin B
  • S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)] (công thức Heron, với p = (a+b+c)/2 là nửa chu vi tam giác)

Ví dụ áp dụng: Cho tam giác ABC có a = 5cm, b = 7cm và góc C = 60°. Tính diện tích tam giác.

Áp dụng công thức S = (1/2) × a × b × sin C: S = (1/2) × 5 × 7 × sin(60°) = (1/2) × 5 × 7 × (√3/2) = (5 × 7 × √3)/4 = 35√3/4 (cm²)

9. Phương trình lượng giác cơ bản

Hiểu và biết cách giải các phương trình lượng giác cơ bản là một phần quan trọng trong việc học công thức lượng giác 11.

9.1. Phương trình sin

• Dạng phương trình: sin x = a
  • Nếu |a| > 1: phương trình vô nghiệm
  • Nếu |a| ≤ 1: x = arcsin a + 2kπ hoặc x = π – arcsin a + 2kπ (k ∈ Z)

9.2. Phương trình cos

• Dạng phương trình: cos x = a
  • Nếu |a| > 1: phương trình vô nghiệm
  • Nếu |a| ≤ 1: x = ±arccos a + 2kπ (k ∈ Z)

9.3. Phương trình tan

• Dạng phương trình: tan x = a
  • Nghiệm: x = arctan a + kπ (k ∈ Z)

Ví dụ áp dụng: Giải phương trình sin x = 1/2 trong khoảng [0, 2π].

Áp dụng công thức sin x = a: x = arcsin(1/2) + 2kπ hoặc x = π – arcsin(1/2) + 2kπ (k ∈ Z)

Ta có arcsin(1/2) = π/6, nên x = π/6 + 2kπ hoặc x = π – π/6 + 2kπ = 5π/6 + 2kπ (k ∈ Z)

Trong khoảng [0, 2π], ta có các nghiệm: x = π/6 ≈ 0.52 rad hoặc x = 5π/6 ≈ 2.62 rad hoặc x = 2π – π/6 = 11π/6 ≈ 5.76 rad

10. Ứng dụng công thức lượng giác trong giải toán

Việc vận dụng linh hoạt các công thức lượng giác 11 giúp học sinh giải quyết nhiều dạng bài toán khác nhau.

10.1. Ứng dụng trong đại số

• Tính giá trị biểu thức lượng giác
• Chứng minh đẳng thức lượng giác
• Giải phương trình và bất phương trình lượng giác

10.2. Ứng dụng trong hình học

• Giải tam giác
• Tính khoảng cách
• Tính diện tích và thể tích

10.3. Ứng dụng trong thực tế

• Đo chiều cao, khoảng cách
• Xác định vị trí
• Phân tích dao động và sóng

Ví dụ áp dụng: Một người đứng cách chân tháp 30m nhìn lên đỉnh tháp với góc ngẩng đầu là 30°. Tính chiều cao của tháp.

Gọi h là chiều cao của tháp, khoảng cách từ người quan sát đến chân tháp là 30m. Áp dụng công thức tan: tan(30°) = h/30 ⟹ h = 30 × tan(30°) = 30 × (1/√3) = 30/√3 = 30√3/3 ≈ 17.32m

11. Mẹo nhớ công thức lượng giác hiệu quả

Để nắm vững công thức lượng giác lớp 11, học sinh cần có phương pháp ghi nhớ hiệu quả.

11.1. Phương pháp nhóm công thức

• Nhóm theo loại hàm số: Nhóm các công thức liên quan đến sin, cos, tan riêng biệt
• Nhóm theo dạng biến đổi: Nhóm các công thức liên quan đến tổng/hiệu, nhân đôi, nửa đôi

11.2. Kỹ thuật ghi nhớ

• Sử dụng sơ đồ tư duy: Vẽ sơ đồ tư duy để kết nối các công thức liên quan
• Tạo các từ khóa gợi nhớ: Sử dụng các từ khóa hoặc câu dễ nhớ để gắn với các công thức
• Thực hành thường xuyên: Áp dụng các công thức vào bài tập để củng cố trí nhớ

11.3. Lưu ý khi sử dụng công thức

• Kiểm tra đơn vị đo góc: Chú ý sử dụng đúng đơn vị radian hoặc độ
• Xác định đúng dấu: Chú ý dấu của các giá trị lượng giác trong từng góc phần tư
• Chọn công thức phù hợp: Phân tích bài toán để chọn công thức hiệu quả nhất

Mẹo nhớ: Để nhớ công thức sin và cos của tổng, hãy nhớ quy tắc “sin cộng: cùng dấu cộng, khác dấu nhân; cos cộng: cùng dấu nhân, khác dấu trừ”.

Xem thêm

Tổng hợp công thức tính vận tốc đầy đủ nhất

Tổng hợp công thức tính diện tích hình hộp chữ nhật

Kết luận

Bài viết đã tổng hợp đầy đủ các công thức lượng giác 11 từ cơ bản đến nâng cao, kèm theo các ví dụ minh họa cụ thể. Việc nắm vững các công thức này không chỉ giúp học sinh đạt điểm cao trong các bài kiểm tra, mà còn tạo nền tảng vững chắc để tiếp cận các kiến thức toán học phức tạp hơn ở cấp độ cao hơn.

Học sinh nên thường xuyên ôn tập và áp dụng các công thức lượng giác lớp 11 vào các bài tập đa dạng để hiểu sâu và nhớ lâu. Đồng thời, nên kết hợp các công thức với nhau để giải quyết các bài toán phức tạp, phát triển tư duy logic và kỹ năng phân tích vấn đề.

Hy vọng bài viết này sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh nắm vững công thức lượng giác 11 và đạt kết quả tốt trong học tập.