Nguyên hàm là một trong những chuyên đề trọng tâm của Giải tích lớp 12 và thường xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp THPT cũng như các kỳ thi đại học. Để học tốt phần này, việc nắm vững các công thức nguyên hàm là điều bắt buộc. Bài viết dưới đây tổng hợp bảng công thức nguyên hàm đầy đủ nhất: từ các công thức cơ bản, hàm lượng giác, hàm hợp, căn thức, đến những dạng đặc biệt thường gặp trong các bài toán tích phân và ứng dụng. Đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp bạn học nhanh, nhớ lâu và áp dụng chính xác trong mọi dạng bài tập.
Tổng hợp công thức nguyên hàm
Nguyên hàm cơ bản”:
[ (“∫ dx”, “x + C”),
(“∫ x^n dx (n ≠ -1)”, “(x^(n+1))/(n+1) + C”),
(“∫ 1/x dx”, “ln|x| + C”),
(“∫ e^x dx”, “e^x + C”),
(“∫ a^x dx”, “a^x / ln(a) + C”) ]
Nguyên hàm lượng giác”:
[ (“∫ sin(x) dx”, “-cos(x) + C”),
(“∫ cos(x) dx”, “sin(x) + C”),
(“∫ sec²(x) dx”, “tan(x) + C”),
(“∫ csc²(x) dx”, “-cot(x) + C”),
(“∫ sec(x)·tan(x) dx”, “sec(x) + C”),
(“∫ csc(x)·cot(x) dx”, “-csc(x) + C”),
(“∫ tan(x) dx”, “-ln|cos(x)| + C”),
(“∫ cot(x) dx”, “ln|sin(x)| + C”),
(“∫ sec(x) dx”, “ln|sec(x) + tan(x)| + C”),
(“∫ csc(x) dx”, “-ln|csc(x) + cot(x)| + C”)]
Nguyên hàm lượng giác ngược”:
[ (“∫ 1 / √(1 – x²) dx”, “arcsin(x) + C”),
(“∫ -1 / √(1 – x²) dx”, “arccos(x) + C”),
(“∫ 1 / (1 + x²) dx”, “arctan(x) + C”),
(“∫ -1 / (1 + x²) dx”, “arccot(x) + C”) ]
Nguyên hàm hàm hợp u = ax + b”:
[ (“∫ f(ax + b) dx”, “(1/a)·∫f(u) du”),
(“∫ 1/(ax + b) dx”, “(1/a)·ln|ax + b| + C”),
(“∫ (ax + b)^n dx (n ≠ -1)”, “(1/(a(n+1)))·(ax + b)^(n+1) + C”)]
Nguyên hàm chứa căn thức”:
[ (“∫ dx / √(a² – x²)”, “arcsin(x/a) + C”),
(“∫ dx / √(x² ± a²)”, “ln|x + √(x² ± a²)| + C”),
(“∫ dx / (x² + a²)”, “(1/a)·arctan(x/a) + C”)]
Nguyên hàm đặc biệt khác”:
[ (“∫ ln(x) dx”, “x·ln(x) – x + C”),
(“∫ x·e^x dx”, “x·e^x – e^x + C”),
(“∫ x / (x² + a²) dx”, “(1/2)·ln(x² + a²) + C”),
(“∫ dx / (x² – a²)”, “(1/(2a))·ln|(x – a)/(x + a)| + C”),
(“∫ sin²(x) dx”, “(x/2) – (sin(2x)/4) + C”),
(“∫ cos²(x) dx”, “(x/2) + (sin(2x)/4) + C”)]
Xem thêm: