Hình hộp chữ nhật là một khối đa diện với 6 mặt hình chữ nhật, là một dạng hình học 3 chiều quen thuộc mà các học sinh thường gặp trong chương trình Toán học. Để tính toán chính xác diện tích của hình hộp chữ nhật, chúng ta cần nắm vững các công thức tính diện tích hình hộp chữ nhật và biết cách áp dụng linh hoạt trong các bài toán. Bài viết này sẽ giúp các em tổng hợp đầy đủ các công thức và hướng dẫn giải các dạng bài tập thường gặp.
1. Đặc điểm cơ bản của hình hộp chữ nhật
Trước khi đi vào các công thức tính diện tích hình hộp chữ nhật, chúng ta cần hiểu rõ về đặc điểm cấu tạo của hình hộp chữ nhật:
- Hình hộp chữ nhật có 6 mặt, mỗi mặt là một hình chữ nhật
- Có 12 cạnh và 8 đỉnh
- Các cạnh song song và vuông góc với nhau
- Ba kích thước cơ bản: chiều dài (a), chiều rộng (b), và chiều cao (c)
Trong không gian ba chiều, hình hộp chữ nhật được xác định bởi 3 kích thước vuông góc với nhau. Đây là nền tảng quan trọng để hiểu và áp dụng các công thức tính diện tích hình hộp chữ nhật một cách chính xác.
2. Các công thức tính diện tích hình hộp chữ nhật
2.1. Công thức tính diện tích toàn phần
Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là tổng diện tích của 6 mặt. Công thức tính diện tích hình hộp chữ nhật toàn phần như sau:
Stp = 2(ab + ac + bc)
Trong đó:
- Stp: Diện tích toàn phần
- a: Chiều dài hình hộp chữ nhật
- b: Chiều rộng hình hộp chữ nhật
- c: Chiều cao hình hộp chữ nhật
Công thức này có thể được hiểu là tổng diện tích của 3 cặp mặt đối diện:
- Cặp mặt đáy và mặt đỉnh: 2ab
- Cặp mặt trước và mặt sau: 2ac
- Cặp mặt bên trái và mặt bên phải: 2bc
2.2. Công thức tính diện tích xung quanh
Diện tích xung quanh là tổng diện tích của 4 mặt bên (không tính đáy và đỉnh):
Sxq = 2c(a + b)
Hoặc có thể viết dưới dạng:
Sxq = 2(ac + bc)
Trong đó:
- Sxq: Diện tích xung quanh
- a: Chiều dài
- b: Chiều rộng
- c: Chiều cao
2.3. Công thức tính diện tích đáy hình hộp chữ nhật
Mỗi đáy của hình hộp chữ nhật là một hình chữ nhật có diện tích:
Sđáy = a × b
Trong đó:
- Sđáy: Diện tích của một mặt đáy
- a: Chiều dài đáy
- b: Chiều rộng đáy
Vì hình hộp chữ nhật có hai mặt đáy giống nhau, nên tổng diện tích hai mặt đáy là:
S2đáy = 2ab
2.4. Mối quan hệ giữa các công thức
Các công thức tính diện tích hình hộp chữ nhật có mối quan hệ chặt chẽ với nhau:
Stp = Sxq + 2Sđáy = 2(ac + bc) + 2ab = 2(ab + ac + bc)
Hiểu rõ mối quan hệ này giúp học sinh linh hoạt trong việc giải các bài toán phức tạp, đặc biệt khi cần tìm diện tích một phần của hình hộp chữ nhật.
3. Các dạng bài tập về tính diện tích hình hộp chữ nhật
3.1. Bài tập tính diện tích toàn phần
Bài tập 1: Cho hình hộp chữ nhật có chiều dài 8cm, chiều rộng 5cm và chiều cao 3cm. Tính diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật.
Lời giải:
- Áp dụng công thức: Stp = 2(ab + ac + bc)
- Thay số: Stp = 2(8×5 + 8×3 + 5×3) = 2(40 + 24 + 15) = 2×79 = 158 (cm²)
Bài tập 2: Một hộp quà có dạng hình hộp chữ nhật với kích thước 25cm × 15cm × 10cm. Tính diện tích giấy gói cần thiết để bọc kín hộp quà (bỏ qua phần giấy thừa để dán).
Lời giải:
- Diện tích giấy gói cần thiết chính là diện tích toàn phần của hộp quà
- Stp = 2(25×15 + 25×10 + 15×10) = 2(375 + 250 + 150) = 2×775 = 1550 (cm²)
3.2. Bài tập tính diện tích xung quanh
Bài tập 3: Một bể nước hình hộp chữ nhật có đáy là hình chữ nhật với kích thước 2m × 3m và chiều cao 1,5m. Tính diện tích xung quanh cần sơn chống thấm (không tính đáy và mặt trên).
Lời giải:
- Diện tích cần sơn chính là diện tích xung quanh của bể nước
- Sxq = 2c(a + b) = 2×1,5×(2 + 3) = 2×1,5×5 = 15 (m²)
Bài tập 4: Một thùng các-tông hình hộp chữ nhật có chiều dài 60cm, chiều rộng 40cm và chiều cao 50cm. Tính diện tích giấy cần dùng để làm 4 mặt bên của thùng (không tính đáy và nắp).
Lời giải:
- Sxq = 2(ac + bc) = 2(60×50 + 40×50) = 2(3000 + 2000) = 2×5000 = 10000 (cm²) = 1 (m²)
3.3. Bài tập tính diện tích đáy
Bài tập 5: Một căn phòng hình hộp chữ nhật có chiều dài 4m, chiều rộng 3m và chiều cao 2,8m. Tính diện tích sàn nhà cần lát gạch.
Lời giải:
- Diện tích sàn nhà chính là diện tích đáy của căn phòng
- Sđáy = a×b = 4×3 = 12 (m²)
Bài tập 6: Một bể bơi hình hộp chữ nhật có chiều dài 25m, chiều rộng 12m và sâu 2m. Tính diện tích đáy bể bơi cần lát gạch chống trượt.
Lời giải:
- Sđáy = a×b = 25×12 = 300 (m²)
4. Bài tập nâng cao về diện tích hình hộp chữ nhật
4.1. Bài tập tìm kích thước từ diện tích
Bài tập 7: Một hình hộp chữ nhật có diện tích toàn phần là 94cm². Biết chiều dài là 5cm, chiều rộng là 3cm. Tính chiều cao của hình hộp chữ nhật.
Lời giải:
- Gọi c là chiều cao cần tìm
- Áp dụng công thức: Stp = 2(ab + ac + bc)
- Thay số: 94 = 2(5×3 + 5×c + 3×c) = 2(15 + 5c + 3c) = 2(15 + 8c) = 30 + 16c
- Giải phương trình: 94 = 30 + 16c ⟹ 16c = 64 ⟹ c = 4 (cm)
Bài tập 8: Một hình hộp chữ nhật có diện tích xung quanh là 280cm². Biết chiều dài là 10cm và chiều cao là 7cm. Tính chiều rộng của hình hộp chữ nhật.
Lời giải:
- Gọi b là chiều rộng cần tìm
- Áp dụng công thức: Sxq = 2c(a + b) = 2×7×(10 + b) = 14(10 + b)
- Thay số: 280 = 14(10 + b) ⟹ 280 = 140 + 14b ⟹ 14b = 140 ⟹ b = 10 (cm)
4.2. Bài tập liên quan đến tỷ lệ kích thước
Bài tập 9: Một hình hộp chữ nhật có các kích thước tỉ lệ với nhau theo tỉ số 3:2:1. Biết diện tích toàn phần của hình hộp là 88cm². Tính các kích thước của hình hộp chữ nhật.
Lời giải:
- Gọi a = 3k, b = 2k, c = k (với k là một hằng số dương)
- Áp dụng công thức: Stp = 2(ab + ac + bc) = 2(3k×2k + 3k×k + 2k×k) = 2(6k² + 3k² + 2k²) = 2×11k² = 22k²
- Thay số: 88 = 22k² ⟹ k² = 4 ⟹ k = 2 (vì k > 0)
- Vậy a = 3×2 = 6 (cm), b = 2×2 = 4 (cm), c = 2 (cm)
Bài tập 10: Một hình hộp chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng và chiều cao bằng chiều rộng. Biết diện tích toàn phần là 150cm². Tính thể tích của hình hộp chữ nhật.
Lời giải:
- Gọi b là chiều rộng, khi đó a = 2b và c = b
- Stp = 2(ab + ac + bc) = 2(2b×b + 2b×b + b×b) = 2(2b² + 2b² + b²) = 2×5b² = 10b²
- Thay số: 150 = 10b² ⟹ b² = 15 ⟹ b = √15 (cm)
- Thể tích V = a×b×c = 2b×b×b = 2b³ = 2(√15)³ = 2×15√15 = 30√15 (cm³)
5. Ứng dụng thực tế của công thức tính diện tích hình hộp chữ nhật
5.1. Ứng dụng trong tính toán vật liệu xây dựng
Trong thực tế, công thức tính diện tích hình hộp chữ nhật được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, đặc biệt là xây dựng:
Bài tập 11: Một căn phòng hình hộp chữ nhật có kích thước 4m × 3m × 2,7m. Cần sơn tường và trần nhà (không tính sàn và cửa). Biết diện tích cửa là 2m². Tính diện tích cần sơn.
Lời giải:
- Diện tích cần sơn = Diện tích toàn phần – Diện tích sàn – Diện tích cửa
- Diện tích toàn phần: Stp = 2(4×3 + 4×2,7 + 3×2,7) = 2(12 + 10,8 + 8,1) = 2×30,9 = 61,8 (m²)
- Diện tích sàn = 4×3 = 12 (m²)
- Diện tích cần sơn = 61,8 – 12 – 2 = 47,8 (m²)
5.2. Ứng dụng trong thiết kế bao bì
Bài tập 12: Một công ty cần thiết kế hộp đựng sản phẩm hình hộp chữ nhật có thể tích 1200cm³. Biết chiều cao hộp là 4cm và chiều rộng bằng 3/4 chiều dài. Tính diện tích vật liệu cần để làm một hộp (bỏ qua phần vật liệu thừa).
Lời giải:
- Gọi a là chiều dài, khi đó b = 3a/4 và c = 4cm
- Thể tích V = a×b×c = a×(3a/4)×4 = 3a²
- Thay số: 1200 = 3a² ⟹ a² = 400 ⟹ a = 20 (cm) (vì a > 0)
- Do đó b = 3×20/4 = 15 (cm)
- Diện tích vật liệu = Stp = 2(ab + ac + bc) = 2(20×15 + 20×4 + 15×4) = 2(300 + 80 + 60) = 2×440 = 880 (cm²)
6. Lưu ý quan trọng khi áp dụng công thức tính diện tích hình hộp chữ nhật
Khi sử dụng các công thức tính diện tích hình hộp chữ nhật, học sinh cần lưu ý một số điểm sau:
- Đơn vị đo lường: Luôn kiểm tra và quy đổi đơn vị đo lường cho đồng nhất trước khi tính toán. Diện tích thường có đơn vị là cm², m², km², v.v.
- Hiểu rõ bài toán: Phân biệt rõ khi nào cần tính diện tích toàn phần, diện tích xung quanh hay diện tích đáy.
- Kiểm tra kết quả: Sau khi tính toán, nên kiểm tra lại kết quả bằng cách thay số vào công thức ban đầu.
- Mối quan hệ giữa các công thức: Nhớ rằng Stp = Sxq + 2Sđáy, giúp kiểm tra tính chính xác của kết quả.
7. Tổng kết các công thức tính diện tích hình hộp chữ nhật
Để giúp các em học sinh dễ dàng ôn tập, dưới đây là bảng tổng hợp các công thức tính diện tích hình hộp chữ nhật quan trọng:
- Diện tích toàn phần: Stp = 2(ab + ac + bc)
- Diện tích xung quanh: Sxq = 2c(a + b) = 2(ac + bc)
- Diện tích đáy: Sđáy = ab
- Tổng diện tích hai mặt đáy: S2đáy = 2ab
- Mối quan hệ: Stp = Sxq + 2Sđáy
Xem thêm
Tổng hợp công thức tính diện tích hình chữ nhật đầy đủ nhất
Tổng hợp công thức tính công suất đầy đủ nhất
Việc nắm vững các công thức này sẽ giúp các em học sinh giải quyết thành công các bài toán về hình hộp chữ nhật, từ cơ bản đến nâng cao, đồng thời hiểu được ứng dụng thực tế của chúng trong cuộc sống.